02 Chapter 2：信号的分析方法

1 经典信号分析

1.1 DC分量和AC分量

信号 $s(t)$ 的DC分量是它在时间上的平均

$S_{d c}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} s(t) d t$

信号 $s(t)$ 通常可以分解为 DC 分量加上 AC 分量

$s(t)=S_{d c}+S_{a c}(t)$

1.2 信号的类型

1．确知信号：信号的值是确定且可预测的。这通常意味着信号随时间变化的值可以写成一个确定的函数
2．随机信号：信号的值是随机的并且不可预测。例如视频中像素点的亮度值，语音的振幅等等。
3．周期／非周期信号：信号是否满足 $f(t)=f(t+n T)$
1.3 信号的能量与功率

假设 $f(t)$ 是信号作用在 $1 \Omega$ 电阻上的电压／电流，那么归一化的能量是

$E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 d t$

归一化的平均功率是

$P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^2 d t$

－能量信号：如果信号的能量有限，那么根据上述定义的公式，取极限之后信号的功率是一个常数除无穷，那么功率则为 $0.0<E<\infty$ 且 $P=0$
－功率信号：如果功率非 0 ，为一常数，那么能量必定为无穷，这样极限才存在。 $0<P<\infty$ 且 $E \rightarrow \infty$

1.4 dB 的计算

第一种类型是能量的 dB 数值。

功率增益：对于一个系统，如果输入系统功率是 $PI$ ，输出功率 $P_O$ ，那么功率增益 $G{d B}=10 \log \left(P_I / P_O\right)$
信噪比：$S N R_{d B}=10 \log (S / N)$

$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt.$

1.5 奇异函数

（1）冲激函数

$\delta(t)= \begin{cases}\infty & t=0 \\ 0 & t \neq 0\end{cases}$

冲激函数的性质

$\left\{\begin{array}{l} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1 \\ \int_{-\infty}^{\infty} a \delta(t) d t=a \\ \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \delta\left(t-t_0\right) d t=s\left(t_0\right) \end{array}\right.$

（2）门函数

$G_\tau(t)= \begin{cases}1 & |t| \leq \frac{\tau}{2} \\ 0 & |t| \geq \frac{\tau}{2}\end{cases}$

（3）Sa函数

$S a(t)=\frac{\sin t}{t}$

或者

$S a\left(\frac{\pi t}{T_s}\right)=\frac{\sin \frac{\pi t}{T_s}}{\frac{\pi t}{T_s}}$

1.6 非周期信号的Fourier变换

－Fourier分析公式（变换）

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t$

－Fourier合成公式（反变换）

$f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega$

利用Fourier变换，可以得到门函数的Fourier变换对

$G_\tau(t) \leftrightarrow \tau S a\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)$

其中 $\tau$ 为门宽。
同样Sa函数的Fourier变换对

$S a\left(\frac{\pi t}{T_s}\right) \leftrightarrow T_s G_{\frac{2 \pi}{T_s}}(\omega)$

1.7 卷积

信号的卷积定义为

$f_1(t) * f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau$

卷积运算的时频关系为
1．时域卷积频域相乘

$f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(\omega) F_2(\omega)$

2．时域相乘，频域乘系数卷积

$f_1(t) f_2(t)=\frac{1}{2 \pi} F_1(\omega) * F_2(\omega)$

1.8 能量密度谱（ESD）与功率密度谱（PSD）

时域计算能量信号 $f(t)$ 的能量的公式为

$E=\int_{-\infty}^{\infty} f^2(t) d t$

频域计算能量信号 $f(t)$ 的能量的公式为

$E=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2 d \omega$

定义能量密度谱ESD为

$E_f(\omega)=|F(\omega)|^2$

其意义是信号在单位频带中的能量，或者说信号能量在频带中的分布，单位是 $(\mathrm{J} / \mathrm{Hz})$
时域计算功率信号 $f(t)$ 的功率的公式为

$P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f^2(t) d t$

频域计算功率信号 $f(t)$ 的功率的公式为

$P=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|F_T(\omega)\right|^2}{T} d \omega$

其中 $F_T(\omega)$ 是 $f_T(t)$ 的Fourier变换，而 $f_T(t)$ 是在区间 $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ 截断信号 $f(t)$ 生成的。
定义功率密度谱PSD为

$P_f(\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|F_T(\omega)\right|^2}{T}$

它的意义是单位频带中的平均功率，单位是 $(\mathrm{W} / \mathrm{Hz})$
ESD和PSD有更好的计算方法，Wiener－Khinchin定理指出。能量信号的ESD是其ACF（自相关函数）的Fourier变换

$R(\tau) \leftrightarrow E_f(\omega)$

功率信号的PSD是其ACF的Fourier变换

$R(\tau) \leftrightarrow P_f(\omega)$

1.9 自相关函数ACF与互相关函数CCF

能量信号的ACF为

$R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) d t$

功率信号的ACF为

$R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) f(t+\tau) d t$

能量信号的CCF为

$R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(t) f_2(t+\tau) d t$

功率信号的CCF为

$R_{12}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_1(t) f_2(t+\tau) d t$

同时互相关函数满足

$R_{21}(\tau)=R_{12}(-\tau)$

2 统计信号分析

这一部分将使用随机过程来描述信号

2.1 随机过程

随机过程在生活中十分常见，例如一周的气温可以是一个随机过程。在这七天里，每天的气温都是一个随机变量，七天的气温就是七个随机变量构成的集合：${X(1), X(2), \ldots, X(7)}$ ，或者可以写作 ${X(n), n \in[1,7]}$ 。这个时候，集合里的元素由变量 $n$ 索引，当确定好 $n$ 的时候，就得到一个随机变量。

一个随机过程是一系列随机变量构成的集合，并由时间 $t$ 索引：${X(t), t \in T}$ 。如果时间 $t$ 是离散的，那么随机过程就是离散的，这个时候可以将随机过程中所有的随机变量列出来 ${X(0), X(1), X(2), \ldots}$ 。如果时间 $t$ 是连续的，那么随机过程就是连续的，这个时候可以看作由时间 $t$ 索引了无限个随机变量。当确定一个时间点 $t_0$ 的时候，我们得到了这个集合中的一个随机变量 $X\left(t_0\right)$ 。

既然每个时间点都是一个随机变量，那么它就存在一个累积分布函数（CDF）和一个概率密度函数（PDF）。
我们知道，CDF定义为随机变量取值小于等于某个值的概率，即

$F(x)=P[X \leq x]$

那么对于随机过程而言，如果我们确定某个时间点 $t_1$ ，得到一个随机变量 $X\left(t_1\right)$ ，它的CDF就是

$F_1\left(x_1, t_1\right)=P\left[X\left(t_1\right) \leq x_1\right]$

这个函数与两个值有关，一个是取值 $x_1$ ，一个是时间 $t_1$ 。所以，它可以看作在时间 $t_1$ ，随机变量 $X\left(t_1\right)$ 的取值小于等于 $x_1$ 的概率分布。

那么PDF就是它的一阶偏导数

$\frac{\partial F_1\left(x_1, t_1\right)}{\partial x_1}=f_1\left(x_1, t_1\right)$

这也叫做随机过程的一维PDF。注意，当随机过程取不同时间点的时候，分布可能是不一样的，这也是为什么这里加上了角标 $f_1$ 和 $x_1$ 。有些书上会写 $f_t(x, t)$ ，代表在时刻时服从的概率密度。

如果我们取 n 个时间点，就有

$f_n\left(x_1, x_2, \ldots, x_n ; t_1, t_2, \ldots, t_n\right)=\frac{\partial^n F_n\left(x_1, x_2 \ldots, x_n ; t_1, t_2, \ldots, t_n\right)}{\partial x_1 \partial x_2 \ldots \partial x_n}$

这是随机过程的 $n$ 维PDF。 $n$ 取得越大，对随机过程的统计特性描述就越充分。

2.2 随机过程的数字特征

期望：随机过程的期望是对其中的随机变量进行期望运算，设随机过程 ${X(t), t \in T}$

$a(t)=E[X(t)]$

我们将随机过程中的随机变量求了期望，而时间变量仍然存在，所以期望是关于时间的函数。这是因为时间不同概率分布可能不同，则不同时间点的期望可能不同。

方差：随机过程的方差定义为

$\sigma^2(t)=D[X(t)]=E\left\{\left[X(t)-E[X(t)]^2\right\}=E\left[X^2(t)\right]-E^2[X(t)]\right.$

由于同样的分布随时间可能变化的原因，方差也是时间的函数。
ACF： ACF 定义为

$R\left(t_1, t_2\right)=E\left[X\left(t_1\right) X\left(t_2\right)\right]$

或者

$R(t, t+\tau)=E[X(t) X(t+\tau)]$

自协方差函数：自协方差函数定义为

$B\left(t_1, t_2\right)=E\left\{\left[X\left(t_1\right)-a\left(t_1\right)\right]\left[X\left(t_2\right)-a\left(t_2\right)\right]\right\}$

ACF 和自协方差函数还存在以下关系

$B\left(t_1, t_2\right)=R\left(t_1, t_2\right)-a\left(t_1\right) a\left(t_2\right)$

2.3 平棯随机过栓

严平稳（平稳）：如果一个随机过程 $\xi(t)$ 的 n 维PDF满足

$f_n\left(x_1, x_2, \ldots, x_n ; t_1, t_2, \ldots, t_n\right)=f_n\left(x_1, x_2, \ldots, x_n ; t_1+\tau, t_2+\tau, \ldots, t_n+\tau\right)$

则称其是严平稳（平稳）的。
我们注意到其一维PDF满足

$f_1\left(x_1 ; t_1\right)=f_1\left(x_1 ; t_1+\tau\right)$

也就是说任取一个起点 $t_1$ ，对于任意一个时间间隔之后的PDF都不变，那么一维PDF与时间就没有关系了。其二维PDF满足

$f_2\left(x_1, x_2 ; t_1, t_2\right)=f_2\left(x_1, x_2 ; t_1+\tau, t_2+\tau\right)$

也就是说任取两个不同的时间起点，在任意一个时间间隔后PDF都不变，那么二维PDF与选取的两个时间起点之差有关。宽平稳：如果随机过程的均值是常数， ACF 只与时间差 $\tau$ 有关，即

$E[X(t)]=a \quad R(t, t+\tau)=R(\tau)$

那么随机过程就是宽平稳的。
不难发现，严平稳要求了其 n 维PDF的性质，而宽平稳只要求了其均值和方差（一阶和二阶矩），所以严平稳一定是宽平稳，宽平稳不一定是严平稳。

平稳过程ACF的性质
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline ACF & 性质 \
\hline$R(0)=E\left[X^2(t)\right]=S$ & 平均功率 \
\hline$R(\infty)=E[X(t)]=a^2$ & 直流功率 \
\hline$R(0)-R(\infty)=\sigma^2$ & 交流功率 \
\hline$R(\tau)=R(-\tau)$ & 偶函数 \
\hline$|R(\tau)| \leq R(0)$ & ACF上界 \
\hline
\end{tabular}

平稳过程的Wiener－Khinchin定理

对于平稳随机过程，PSD是ACF的Fourier变换。即

$P_{\xi}(\omega)=\mathcal{F}\left[R_{\xi}(\tau)\right]$

反过来， ACF 是 PSD 的Fourier反变换

$P_{\xi}(\omega)=\mathcal{F}^{-1}\left[R_{\xi}(\tau)\right]$

2.4 遍历性

我们定义随机过程的时间平均是

$\langle X(t)\rangle=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X(t) d t$

时间自相关函数是

$\langle X(t) X(t+\tau)\rangle=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X(t) X(t+\tau) d t$

如果满足时间平均等于统计平均（期望），即

$\langle X(t)\rangle=E[X(t)]=a$

时间自相关函数等于统计自相关函数，即

$\langle X(t) X(t+\tau)\rangle=E[X(t) X(t+\tau)]=R(\tau)$

那么就称随机过程是遍历的。
遍历过程一定是平稳的，但平稳过程不一定遍历。

2．5 Gaussian过程

定义：对于一个随机过程 ${X(t), t \in T}$ ，如果任取 n 个时间点，得到的随机变量 $X\left(t_1\right), X\left(t_2\right), \ldots, X\left(t_n\right)$ 联合起来服从 n 维高斯分布，如果将 n 个随机变量写成一个向量 $X=\left[X\left(t_1\right), X\left(t_2\right), \ldots, X\left(t_n\right)\right]^T$

$f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(C)}(2 \pi)^{n / 2}} \exp \left\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T C^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right\}$

其中 $C$ 为协方差矩阵，$\mu$ 为均值向量
那么这个随机过程是Gaussian过程。上述n维Gaussian分布的表达式不做重点，重点在于其服从Gaussian分布，以及它有以下重要性质

1．Gaussian过程宽平稳就严平稳
2．Gaussian过程各时刻得到的随机变量 $X\left(t_1\right), X\left(t_2\right), \ldots, X\left(t_n\right)$ 都是独立的。
3．多个高斯过程的线性组合还是高斯过程
Gaussian分布的一维PDF就是上述只取一个时间点时的概率分布，其PDF为

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right\}$

这就是概率论中大家熟悉的一维Gaussian分布的表达式。其均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2$ ，一般记为 $x \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，当 $\mu=0$ ， $\sigma^2=1$ 时又称作标准Gaussian分布

Gaussian分布引出的有用函数：我们通过Gaussian分布还创造出了一些有用的函数。
（1）Error函数
我们定义Error函数为

$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-z^2} \mathrm{~d} z$

这个函数满足 $\operatorname{erf}(-x)=-\operatorname{erf}(x), \operatorname{erf}(0)=0, \operatorname{erf}(\infty)=1$ 。
（2）互补Error函数

$\operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-z^2} \mathrm{~d} z$

这个函数满足 $\operatorname{erfc}(-x)=2-\operatorname{erfc}(x), \operatorname{erfc}(0)=1, \operatorname{erfc}(\infty)=0$ 。
当 $x$ 非常大的时候，还可以通过以下公式近似计算 $\operatorname{erfc}(x)$ ．

$\operatorname{erfc}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi} x} e^{-x^2}$

（3）Q函数
Q函数实际上就是标准Gaussian分布的右边积分

$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_x^{\infty} \exp \left\{-\frac{y^2}{2}\right\} \mathrm{d} y$

这个函数满足 $Q(-x)=1-Q(x)(x>0), Q(0)=0.5$
当 x 非常大的时候，还可以用以下公式近似计算 $Q(x)$

$Q(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi} x} \exp \left\{-\frac{x^2}{2}\right\}$

Gaussian分布，Error函数，互补Error函数和Q函数存在以下关系

$\left\{\begin{array}{l} Q(x)=\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \\ \operatorname{erfc}(x)=2 Q(\sqrt{2} x) \end{array}\right.$

以及当 $F(x)$ 表示Gaussian分布的CDF时

$F(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2 a}}\right) & x \geq a \\ 1-\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2 a}}\right) & x \leq a\end{cases}$

3 随机过程通过线性系统

在信号与系统中，我们已经学过了信号通过LTI系统的知识。简单来说，信号 $f(t)$ 通过系统 $h(t)$ ，输出信号 $y(t)$ ，满足

$y(t)=f(t) * h(t)$

其中＊是卷积运算。换到频域就是

$Y(j \omega)=F(j \omega) H(j \omega)$

由于随机过程整体无法写成一个确定的表达式，或者说表达式中带有随机的成分，我们更关心其通过系统前后数字特征的变化。

3.1 均值变化

假设输入平稳随机过程 $\xi_i(t)$ 的均值 $E[\xi(t)]=a$ ，系统为 $h(t)$ 且因果，那么由卷积运算，其输出过程 $\xi_o(t)$ 为

$\xi_o(t)=\int_0^{\infty} h(\tau) \xi_i(t-\tau) \mathrm{d} \tau$

取均值得到

$\begin{aligned} E\left[\xi_o(t)\right] & =\int_0^{\infty} h(\tau) E\left[\xi_i(t-\tau)\right] \mathrm{d} \tau \\ & =\int_0^{\infty} h(\tau) a d \tau \\ & =a \int_0^{\infty} h(\tau) d \tau \end{aligned}$

注意到

$H(0)=\int_0^{\infty} h(t) e^{-j 0 t} d t=\int_0^{\infty} h(t) d t$

则

$E\left[\xi_o(t)\right]=a H(0)$

也就是说输出随机过程的均值是输入随机过程的均值乘上系统函数的初值。

4 窄帶随机过程 $\theta$

如果说一个随机过程，它的PSD集中在某个频率 $f_c$ 附近，$f_c$ 我们称作中心频率。且其带宽 $\Delta f$ 满足 $\Delta f \ll f_c$ ，那么这个随机过程就叫做窄带随机过程。

研究窄带随机过程是因为大多数通信系统都是窄带系统，即满足系统带宽B和中心频率 $f_c, B \ll f_c$ ，那么随机过程通过这个系统也就成为了窄带随机过程。

在众多随机过程中，拥有正弦波形式的随机过程是通信中最常用的。我们现在研究一个包络和相位都是随机的正弦波过程

$\xi(t)=a(t) \cos \left[\omega_c t+\phi(t)\right]$

其中 $a(t)$ 和 $\phi(t)$ 是某种随机包络和随机相位。现在我们利用关系 $\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B$ 得到

$\begin{aligned} \xi(t) & =a(t) \cos \phi(t) \cos \omega_c t-a(t) \sin \phi(t) \sin \omega_c t \\ & =\xi_c(t) \cos \omega_c t-\xi_s(t) \sin \omega_c t \end{aligned}$

与原随机过程相比，$\xi_c(t)$ 仍然乘以 $\cos \omega_c t$ ，因此是同相的，所以称其为同相分量。而 $\xi_s(t)$ 乘以 $\sin \omega_c t$ ，与 $\cos$ 相差 $90^{\circ}$ ，所以是与原表达式正交的，我们称其为正交分量。

而且不难发现

$\phi(t)=\arctan \frac{\xi_s(t)}{\xi_c(t)}$

以及

$a(t)=\sqrt{\xi_c^2(t)+\xi_s^2(t)}$

现在，如果我们强制 $\xi(t)$ 是一个 0 均值，方差为 $\sigma^2$ 的平稳Gaussian窄带过程，那么将会得到以下结论：
1．均值为 0 的窄带平稳Gaussian过程，同相分量和正交分量也是平稳Gaussian过程，且均值为 0 ，方差相同。
2．其包络 $a(t)$ 服从Rayleigh分布，其一维PDF为

$f(a)=\frac{a}{\sigma^2} \exp \left[-\frac{a^2}{2 \sigma^2}\right]$

3．其相位 $\phi(t)$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 或 $[0,2 \pi]$ 的均匀分布。
4．相位与包络统计上独立。

5 Gausssian白噪声与带限白噪声

5.1 白噪声

所谓白噪声就是PSD是一个常数的随机过程。
对于单边 $\mathrm{PSD}\left(0 \leq \omega<\infty\right.$ 不考虑负频率），我们记这个常数为 $n_0$ ，即 $P(\omega)=n_0$ 。而它的双边 $\mathrm{PSD}(-\infty<\omega<\infty$ 考虑负频率）为 $\frac{n_0}{2}$ ，即 $P(\omega)=\frac{n_0}{2}$ 。工程上单边PSD更常用。然而现实生活中没有理想的白噪声，只要在通信系统工作频率范围内其PSD是个常数，我们就认为它是白噪声。

5．2 Gaussian白噪声

现在我们再考虑将PSD为常数的特性加入Gaussian过程中，那么一个均值为 0 ，方差为 $\sigma^2, \operatorname{ACF}$ 为 $R_n(\tau)=\frac{n_0}{2} \delta(\tau)$ ，PSD为 $P_n(\omega)=\frac{n_0}{2}$ ，且平稳遍历的随机过程我们就称其为Gaussian白噪声。

Gaussian白噪声的PDF服从Gaussian分布，而且满足不同时间的取到的随机变量独立。一般来讲，Gaussian白噪声是作为加性噪声出现的，即噪声叠加到信号上。加性Gaussian白噪声又缩写为AWGN。

5.3 带限白噪声

现实生活中的通信系统都是带宽有限的，当白噪声通过带宽有限的系统之后就叫做带限白噪声。例如通过低通系统就是低通白噪声，通过带通系统之后就是带通白噪声。

假设双边 PSD 为 $P(\omega)=\frac{n_0}{2}$ 白噪声通过了一个带宽为 $B$ 的窄带带通系统，那么其功率为

$N=n_0 B$