信号与系统03

频谱·非周期信号的傅里叶变换

信号的频谱

已经知道信号可以分解为一系列正弦信号或者是数字数信号的和。
以各分量（称为各谐波（Harmonics））对应的角频率为横坐标，以各分量的幅值或者是相位为纵坐标绘制图像，就能得到信号的频谱图像。
频谱分为两种，单边频谱（描述三角形式的傅里叶级数）和双边频谱（描述指数形式的傅里叶级数）。
要绘制其单边或双边的幅值频谱和相位频谱，才能够完整地描述一个傅里叶级数。
单边频谱和双边频谱的关系：
单边频谱的幅值是双边频谱的两倍：$A{uni} = 2A{bil} = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$
两者相位相同：$\phi_n = arctan(-\frac{b_n}{a_n})$。
例如下图中的三角形式傅里叶级数，可以用单边频谱表示后转换为图中的双边频谱。
周期矩形脉冲信号的频谱
对上图的周期脉冲信号求其傅里叶系数，得到：

$$F(n\omega) = \frac{E\tau}{T_1}Sa(n\omega_1\frac{\tau}{2})$$

称相邻两个分量间的距离为谐波距离，谐波距离为$\omega_1$，函数与横轴的第一个交点为主瓣宽度：$\frac{2\pi}{\tau}$。
定义$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$, $T_1$为采样周期。可以发现主瓣宽度不变的前提下，$T_1$越大，谐波距离越小，谐波分布越稠密。当$T_1 \rightarrow \infty$时，整个频谱将趋于连续。
因此周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱是连续的。

• 周期信号的功率
  归一化（R=1Ω）的周期信号的平均功率可以由如下的公式表示： $$P = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt = \sum F(n\omega_1)^2$$

  傅里叶变换、反变换的推导

  对指数形式的傅里叶系数参数： $$F(n\omega_{1}) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)e^{-j n\omega_{1}t}dt$$ 两边同时乘上周期： $$TF(n\omega_{1}) = \int_{0}^{T} f(t)e^{-j n\omega_{1}t}dt$$ 当 $T \rightarrow \infty$ 时，左边 $TF(n\omega{1})$ 是一个有界函数，此时频谱连续 $n\omega{1} \rightarrow \omega$，定义频谱密度 $F(\omega)$： $$F(\omega) = lim_{T \rightarrow \infty} TF(n\omega_{1})$$ $$= lim_{T \rightarrow \infty} \int_{0}^{T} f(t)e^{-j n\omega_{1}t}dt$$ $$= \int f(t)e^{-j n\omega_{1}t}dt$$ 定义傅里叶变换算子 $F[\cdot]$: $$F[\cdot] = \int \cdot e^{-j\omega_{1}t}dt$$ 可得傅里叶变换： $$F[f(t)] = \int f(t)e^{-j\omega_{1}t}dt$$ 变换后的结果一定可以表示为复指数形式： $$F(\omega) = |F(\omega)|e^{j\phi(\omega)}$$ 称 $|F(\omega)|$ 为振幅，$\phi(\omega)$ 为相位角。
  对傅里叶变换的指数形式变形： $$f(t) = \sum F(\omega_{1})e^{j\omega_{1}t}$$ $$= \sum \frac{F(\omega_{1})}{\omega_{1}}\omega_{1}e^{j\omega_{1}t}$$ 当 $T \rightarrow \infty$ 时，可证明 $lim{T \rightarrow \infty} \frac{F(n\omega{1})}{\omega_{1}} = \frac{F(\omega)}{2\pi}$，有： $$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$$ 将如上式子定义为傅里叶反变换。
  因此：
  傅里叶变换：$F[f(t)] = \int f(t)e^{-j\omega_1t}dt$
  傅里叶反变换：$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$
  此外应用奇偶分解和欧拉公式可以将傅里叶变换分解为： $$F(\omega) = 2\int f_e(t)\cos\omega tdt - 2j\int f_0(t)\sin\omega tdt$$

  傅里叶变换的性质

1. $f(-t) \rightarrow F(-\omega)$
2. $f(-t) \rightarrow F^*(\omega)$
3. 线性
4. 对偶性：$F(t) \rightarrow 2\pi f(-\omega)$
5. 变换操作：

• 尺度变换：$f(at) \rightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$
• 时移：$f(t-t_0) \rightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0}$
• 综合：$f(at+b) = f(a(t+b/a)) \rightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})e^{-j\omega\frac{b}{a}}$
• 频移：$F(\omega+\omega_0) \rightarrow f(t)e^{-j\omega_0t}$

1. 导数：

• 时域倒数：$f’(t) \rightarrow j\omega F(\omega)$
• 频域导数：$F’(\omega) \rightarrow -jf(t)$

1. 积分：

• 时域积分：$\int f(t)dt = \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{F(\omega)}{j\omega}$

常见非周期信号的傅里叶变换

方波/门函数

$$f(t)=E,-\frac{\tau}{2} 运用f(t)只在振幅处有值,因此: $$F(\omega)=\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} Ee^{-j\omega t}dt$$$$=E_{T}Sa(n\frac{\omega\tau}{2})$$

直流信号$f(t)=E$由于直流信号不满足狄利克雷条件中的绝对可积,因此需要考虑其他方法对其做变换。
当门函数的$\tau\rightarrow\infty$时,可以将门函数视作一个直流信号函数。

$$F(\omega)=\lim_{\tau\rightarrow\infty}\int_{-\tau}^{\tau} Ee^{-j\omega t}dt$$$$=E\lim_{\tau\rightarrow\infty}\frac{2sin(\omega\tau)}{\omega}$$ $$=2\pi E\delta(\omega)$$

当$E=1$时,可以推导出

$$F(\omega)=2\pi\delta(\omega)$$

单位冲激函数

$$F(\omega)=\int\delta(t)e^{-j\omega t}dt=1$$

单位冲击偶函数

$$F(\omega)=\int\delta'(t)e^{-j\omega t}dt=j\omega$$

单侧指数函数

$$f(t)=Ee^{-\alpha t}u(t)$$ $$F(\omega)=\int Ee^{-\alpha t}u(t)dt$$ $$=\int_{0}^{\infty} Ee^{-\alpha t}dt$$ $$=\frac{E}{\alpha+j\omega}$$

对其做复指数变换，就能得到其振幅和相位角：

$$F(\omega)=\frac{E(\alpha-j\omega)}{\alpha^{2}+\omega^{2}}$$ $$=\frac{E}{\sqrt{(\alpha^{2}+\omega^{2})}}e^{-j\arctan\frac{\omega}{\alpha}}$$

符号函数

$$sgn(t)=\begin{cases}1, t>0 \\ -1, t<0\end{cases}$$

由于不满足狄利克雷条件中的绝对可积（在t=0处不可积），因此需要对函数做变换，使其可积。
设$f_{1}(t)=sgn(t)e^{-\alpha|t|}$

$$F(\omega)=\lim_{\alpha\to0}[\int_{-\infty}^{0}-e^{\alpha t}-j\omega t dt+\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}-j\omega t dt]$$ $$=-\lim_{\alpha\to0}\frac{2j\omega}{\alpha^{2}+\omega^{2}}$$ $$=\frac{2}{j\omega}$$

复指数形式：

$$F(\omega)=\frac{2}{|\omega|}e^{\pm\frac{\pi}{2}j}$$