时域分析方法（微分/差分方程·卷积）

微分/差分方程的解

$C_{0}\frac{d^{n}r(t)}{dt^{n}}+C_{1}\frac{d^{n-1}r(t)}{dt^{n-1}}+\ldots+C_{n}r(t)=E_{0}\frac{d^{m}e(t)}{dt^{m}}+E_{1}\frac{d^{m-1}e(t)}{dt^{m-1}}+\ldots+E_{m}e(t)$

这个方程的解由齐次解和特解两部分组成，齐次解与特解的和构成方程的全解。

齐次解

当输入全部为0时，得到的方程：$C{0}\frac{d^{n}r(t)}{dt^{n}}+C{1}\frac{d^{n-1}r(t)}{dt^{n-1}}+\ldots+C_{n}r(t)=0$，称之为特征方程。

由特征方程得到的解称为齐次解。齐次解表示系统的零输入响应。

求齐次解

将特征方程转化为多项式并求解。

对于微分方程的特征方程，其$n$阶微分项可以被换元为$\alpha^{n}$项，最终将特征方程转化为关于$\alpha$的$n$阶多项式。

对于差分方程的特征方程，其$0$阶差分项$y(n)$可以被换元为关于$\alpha$的最高幂项，如此类推，最终将特征方程转化为关于$\alpha$的$n$阶多项式。

根据多项式的解的个数和是否有重根，可以在下表中找到齐次解的形式，并带入多项式的解。
将齐次解带入已知方程的特解（通常是系统的零状态响应），利用对应阶数项系数相等，求出齐次解中的常系数。

不同特征根所对应的齐次解（微分方程）

特征根	齐次解$y_{p}(t)$
单实根	$e^{\alpha k}$
r重实根	$\sum C_{r-1}t^{r-1}e^{\alpha k}$

不同特征根所对应的齐次解（差分方程）

特征根	齐次解$y_{p}(k)$
单实根	$C\alpha^{k}$
r重实根	$\sum C_{r-1}k^{r-1}\alpha^{k}$

特解

当激励为特定的值或者是函数时，方程的解称为特解。

求特解

带入具体的激励e(t)到系统的微分/差分方程。
通过0阶项r(t)与激励中最高次数项之间系数的关系，用待定系数法猜想系统响应r(t)的结构。
将r(t)的结构代回微分/差分方程，利用对应阶数项系数相等建立方程，解出r(t)结构中的常系数。
如果已知了一些特解，求另一些特解，可以使用迭代法。
即从h(0)开始列出微分方程，直到列到所求的特解对应的微分方程，将已知的特解带入，从而求出未知的特解。
卷积
\subsection*{零状态响应和零输入响应}
在第二讲中对零状态响应和零输入响应以及线性关系进行过介绍，值得注意的是：零状态响应 $r{z s}(t)$ 和零输入响应 $r{z i}(t)$ 是相互独立的，即任何的输入只会影响到零状态响应中t的取值，而不会影响零输入响应中t的取值。
零输入响应与系统方程的通解有关，零状态响应与系统方程的特解/非齐次解有关。
两者可以通过解非齐次的微分/差分方程得到，解微分/差分方程的通用方法是卷积。
卷积方法
在连续系统中，定义 * 为卷积符号，定义卷积运算： $g(t) = f(t) * h(t) = \int f(\tau) h(t - \tau) d\tau$ 由于任何信号都可以被分解为 $n$ 个宽为 $\tau$，高为 $f(n\tau)$ 的门信号，在 $\tau$ 非常小的时候可以认为 $gate(t) = u’(t) \Delta \tau = \delta(t)$，因此任何的信号都可以用与冲激信号的卷积来表示： $f(t) = \int f(\tau) \delta(t - \tau) d\tau$
几何意义
两个信号 $f(t)$ 和 $h(t)$ 卷积的几何意义是：将其中一个图像左右翻转，然后从 $t = 0$ 处向右平移，平移过程中两个函数图像重叠面积的变化即为卷积图像。
计算性质
基本性质：交换律，结合律，分配率。

微分和积分特性：

$g'(t) = f'(t) * h(t) = f(t) * h'(t)$ $g^{(n-m)}(t) = f^{(n)}(t) * h^{(-m)}(t) = f^{(-m)}(t) * h^{(n)}(t)$

注：$g^{(n-m)}(t)$表示对$g(t)$作n次微分，m次积分。
与冲激函数或阶跃函数卷积

$f(t) * \delta(t) = f(t)$
$f(t - t_0) * \delta(t - t_1) = f(t - t_0 - t_1)$
$f(t) * \delta’(t) = f’(t)$
卷积和
在离散系统中，定义卷积和： $f(k) = \sum f(i) h(k - i)$ 任何的离散序列都可以用其自身与单位序列的卷积和表示： $f(t) = \sum f(i) \delta(k - i) di$ 卷积和也同样满足如上的计算性质和一些特殊的卷积结果： $x(k) * \delta(k) = x(k)$ $x(k) * \delta(k - 1) = x(k - 1)$

冲激响应和单位序列/取样响应

一个连续的LTI系统零状态下输入单位冲激函数δ(t)，所引起的响应称为单位冲激响应，记作h(t)。冲激响应是e(t)=δ(t)时微分方程的特解。
连续系统的零状态响应r_{zs}(t)可以表示为系统输入f(t)与单位冲击响应h(t)的卷积：

$r_{zs}(t) = f(t) * h(t)$

一个离散的LTI系统零状态下输入单位序列δ(k)，所引起的响应称为单位取样响应，记作h(k)。连续系统的零状态响应r_{zs}(k)可以表示为系统输入f(k)与单位冲击响应h(k)的卷积：

$r_{zs}(k) = f(k) * h(k)$

阶跃响应

一个LTI系统零状态下输入单位阶跃函数u(t)所引起的响应称为单位阶跃响应，记作g(t)。由u(t)=∫δ(t)dt，

$g(t) = \int_{-\infty}^{t} h(t) dt$

卷积积分需要满足条件f{1}(τ)f{2}(t-τ)≠0，由于对阶跃函数u(t)，t>0，因此阶跃响应通从用于决定卷积积分的上下限。

时域分析方法（微分/差分方程·卷积）

微分/差分方程的解

齐次解

卷积

卷积方法

几何意义

计算性质

卷积和

冲激响应和单位序列/取样响应

阶跃响应