拉普拉斯变换

傅里叶变换的局限性

1.使用傅里叶变换的条件是(f(t))必须要满足狄利赫里条件，即必须要满足有界、绝对可积和有有限个间断点三个条件。有些信号并不满足绝对可积的条件，因此这些信号不能被应用傅里叶变换。
2.傅里叶变换中的无穷积分比较困难。
对于不满足狄利赫里条件的信号，可以用拉普拉斯变换进行处理。

拉普拉斯变换的基本原理

拉普拉斯变换的基本思想是将 $f(t)$ 乘上一个衰减系数： $AF$ (Attenuation factor) 以改善 $f(t)$ 的收敛性，使得 $f(t)AF$ 满足狄利赫里条件。
通用的衰减系数是 $e^{-\sigma t}$。
因此 $f(t)AF$ 的傅里叶变换写作：

$F(\omega) = F[(f(t)e^{-\sigma t})] = \int f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt = \int f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dt$

令 $s = (\sigma+j\omega)$，得到拉普拉斯变换的定义式：

$L[f(t)] = F(s) = F(\sigma+j\omega) = \int f(t)e^{-st}dt$

对于 LTI 系统，$f(t) = 0, t < 0$，因此：

$L[f(t)] = F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$

存在条件/收敛域
保证拉普拉斯变换存在的条件是 $f(t)AF$ 满足满足狄利赫里条件。使得拉普拉斯变换成立的定义域称为收敛域 (RoC)。其应当是使得 $F(s)$ 存在的 $s$ 的范围。即 $f(t)$ 应当满足：

$\lim_{t \to \infty} f(t)e^{-\sigma t} = 0$

拉普拉斯反变换
傅里叶反变换的定义式：

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

带入 $f(t)e^{-\sigma t}$：

$f(t)e^{-\sigma t} = \frac{1}{2\pi} \int F(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}d\omega$

将两边同时乘上 $e^{\sigma t}$：

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}d\omega$

带入 $s = \sigma+j\omega$ 并替换积分域，得到拉普拉斯反变换的定义式：

$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds$

拉普拉斯变换对包含拉普拉斯变换和反变换的定义式。
拉普拉斯变换的一般形式和反变换求解
$f(t)$经拉普拉斯变换后的$F(s)$可以用多项式分数的形式进行表达：

$F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{\sum a_ms^m}{\sum b_ns^n}$

倘若$m<n$，则$F(s)$是一个真分数，可以上下做多项式除法，得到：

$F(s)=\frac{a_m(s-z_1)(s-z_2)L(s-z_m)}{b_n(s-p_1)(s-p_2)L(s-p_n)}$

其中$z$表示$F(s)$的时域变换$f(t)$中的零点，$p$表示$F(s)$的时域变换$f(t)$中的指数系数，称为极点(Pole)。
真分数意味着$F(s)$在无穷处收敛的概率很大，因此拉普拉斯变换后的式子具有高稳定性的特点。
在单阶实数极点（Single-order real poles）的条件下：

$F(s)=\frac{A(s)}{(s-p_1)(s-p_2)L(s-p_n)}$

那么$F(s)$经过多项式除法/因式分解之后可以写作：

$F(s)=\sum_{i=1}^{\frac{k_i}{s-p_i}}+L$

可以得到：

$f(t)=\sum_{i=1}^n k_ie^{p_it}$

另外两种关于$F(s)$极点的情况：

共轭复数
多根
本节不会讨论

拉普拉斯变换的性质

线性（同傅里叶变换）
变换操作

时移特性（同傅里叶变换）
频移特性:$f(t)e^{-\alpha t}\rightarrow F(s+\alpha)$
尺度变换（同傅里叶变换）

积分和微分（时域）

微分
一阶微分:$\frac{df(t)}{dt}\rightarrow sF(s)-f(0_{-})$
二阶微分:$\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}\rightarrow s[sF(s)-f(0{-})]-f^{\prime}(0{-})$
积分 $\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\rightarrow\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0_{-})}{s}$ 证明过程是将积分域分解为$[-\infty,0]$（表示初始状态）和$[0,t]$两段。

积分和微分（频域）

n阶微分 $L[t^{n}f(t)]=(-1)^{n}\frac{d^{n}F(s)}{ds^{n}}$
积分 $L[\frac{f(t)}{t}]=\int_{s}^{\infty}F(s)ds$ 初值定理
如果$f(t)$可积可被拉普拉斯变换，$f(t)$在$0_{+}$时刻的值（即初值）可以通过如下公式求得： $f(0_{+})=lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)$ 终值定理
如果$f(t)$可积可被拉普拉斯变换，$f(t)$在$\infty$时刻的值（即初值）可以通过如下公式求得： $lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=lim_{s\rightarrow0}sF(s)$

卷积理论

拉普拉斯变换的卷积理论与傅里叶变换的卷积理论大抵相同，但是要注意对于时域中乘法的变换在频域中卷积项的参数是$\frac{1}{2\pi i}$。

拉普拉斯变换法求解系统微分方程

系统方程与全响应

以时域函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$ 的微分特性：

一阶微分：$\frac{df(t)}{dt} \rightarrow sF(s) - f(0{-})$
二阶微分：$\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}} \rightarrow s[sF(s) - f(0{-})] - f’(0_{-})$
可以将微分方程以拉普拉斯变换从时域变换至频域。
对于描述系统的微分方程将其做拉普拉斯变换：
$F_{out}(R(s),s) = F_{in}(E(s),s)$
带入初始条件和给定的题目条件中的一些 $r(t)$ 在特定时刻下的值，得到方程
解出频域内的 $R(s)$
用待定系数法展开多项式分式并用拉普拉斯反变换得到 $r(t)$
零输入响应
法1
对于描述系统的微分方程，整理出关于 $R(s)$ 的等式： $R(s) = F_{多项式分式}(r(t_{0}),s) + F_{多项式分式}(E(s),s)$ 其中含有某些初始状态 $r(t{0})$ 的多项式分式是零输入响应，含有 $E(s)$ 的多项式分式是零状态响应。选取含有 $r(t{0})$ 的多项式分式，带入初始状态即可得到零输入响应 $R{zi}(s)$。
利用拉普拉斯反变换得到 $r{zi}(t)$。
法2
令 $E(s) = 0$，重新写出此时的系统微分方程：
$F_{out}(R(s),s) = 0$
带入初始条件和给定的题目条件中的一些 $r(t)$ 在特定时刻下的值，得到方程
解出频域内的 $R_{zi}(s)$
用待定系数法展开多项式分式并用拉普拉斯反变换得到 $r_{zi}(t)$

零状态响应
法1
对于描述系统的微分方程，整理出关于$R(s)$的等式：
$R(s) = F_{多项式分式}(r(t_0), s) + F_{多项式分式}(E(s), s)$
其中含有某些初始状态$r(t0)$的多项式分式是零输入响应，含有$E(s)$的多项式分式是零状态响应。
选取带有系统输入$E(s)$的多项式分式，由$L(\delta(t)) \to 1$带入$E(s) = 1$，得到系统的零状态响应$R{zs}(s)$。
利用拉普拉斯反变换得到$r{zs}(t)$
法2
求解到$r(t)$与$r{iz}(t)$后，利用
$r_{zs}(t) = r(t) - r_{iz}(t)$
间接求解到$r_{zs}(t)$。

用拉普拉斯变换分析电路
将电路中主要元件的电压电流关系进行拉普拉斯变换：
电阻：
$R = \frac{V(s)}{I}$
电容：
由时域：$v(t) = \frac{1}{C} \int i(t) dt$
$V(s) = I(s) \frac{1}{sC} + \frac{1}{s} v_c(0_-)$
电容的阻抗（容抗）：
$Z_c = \frac{1}{sC}$
电感：由时域：$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$
$V(s) = I(s) Ls - Li(0_-)$

拉普拉斯变换

傅里叶变换的局限性

拉普拉斯变换的基本原理

拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换法求解系统微分方程

系统方程与全响应

零输入响应

零状态响应

用拉普拉斯变换分析电路