信号与系统06

Z变换

Z变换的基本原理

z变换的本质是通过采样使得离散信号可以被拉普拉斯变换，因此z变换的对象是离散信号/序列。
其具体过程如下：
由第六讲中提到的采样定理，对于连续序列x(t)，对其做自然采样：

$$x_s(t) = x(t)\delta_T(t) \\ = x(t)\sum \delta(t-nT) \\ = \sum x(nT)\delta(t-nT)$$

对其做拉普拉斯变换：

$$X_s = L[x_s(t)]$$ $$L[x_s(t)] = L[\sum x(nT)\delta(t-nT)] \\ = \sum x(nT)L[\delta(t-nT)] \\ = \sum x(nT)e^{-snT}$$

令$z=e^{sT}$，得到z变换的定义式：

$$X(z) = \sum x(n)z^{-n}$$

在LTI系统中$n > 0$，z变换的定义式可以写作：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n}$$

存在条件/收敛域

使得序列$x(n)$能够被z变换的条件是序列$x(n)$收敛，即：

$$\sum |x(n)z^{-n}| < \infty$$

上述条件为z变换的收敛域。

Z反变换

Z变换式的一般形式
序列$x(n)$的z变换式$X(z)$的一般形式可以写作由两个多项式组成的分式：

$$X(z) = \frac{N(z)}{D(z)} = \frac{\sum b_mz^m}{\sum a_nz^n}$$

当极点为一阶时,对等式两边同时除以z以提取常系数A:

$$\frac{X(z)}{z} = \sum_{i=1}^{N} \frac{A_i}{z - z_i}$$

其中$Ai = (z - z_i) \frac{X(z)}{z} |{z = z_i}$
再乘上z:

$$X(z) = \sum_{i=1}^{N} \frac{A_i z}{z - z_i}$$

其中$A_i$为$x(n)$的常系数，$z_i$为底数。 对应的$x(n)$:

$$x(n) = \sum_{i=0}^{\infty} A_i (z_i)^n, n \geq 0$$

另外两种关于$X(z)$极点结构的情况:

1. 共轭复数
2. 多根
   本节不会讨论

Z变换的性质

1. 线性（同傅里叶变换）

线性需要要求两个序列收敛域有公共部分，如果两者没有公共收敛域，那么无法Z变换不具有线性。

1. 变换操作

• 双侧时移
  时移前后信号形状保持不变。
  右移: $Z[x(n - m)] = z^{-m} X(z)$
  左移: $Z[x(n + m)] = z^{m} X(z)$

• 单侧时移
  时移后图像$n < 0$的部分被消去。
  右移:$Z[x(n - m)u(n)] = z^{-m} [X(z) - \sum{k=1}^{k-m} x(k) z^{-k}]$
  左移:$Z[x(n + m)u(n)] = z^{m} [X(z) - \sum{k=0}^{m-1} x(k) z^{-k}]$

• 线性权重

$$Z[nx(n)]= -z\frac{dX(z)}{dz} = -z^{-1}\frac{dX(z)}{dz^{-1}}$$

• 尺度变换（z频域） $$Z[a^{n}x(n)] = X(\frac{z}{a})$$

  初值定理

  如果$x(n)$具有因果性且可以被Z变换，有： $$x(0) = \lim_{x \to \infty} X(z)$$

  终值定理

  如果$x(n)$具有因果性且可以被Z变换，有： $$\lim_{x \to \infty} x(n) = \lim_{z \to 1}[(z-1)X(z)]$$

  卷积理论

  $$Z[x(n)*h(n)] = X(z)H(z)$$ $$Z[x(n)h(n)] = X(z)*H(z)$$ 收敛域为两者的公共收敛域：$max(R{xmin}, R{hmin}) < |z| < min(R{xmax}, R{hmax})$

  常见信号的Z变换

  单位冲激序列

  $$Z[\delta(n)] = \sum \delta(n)z^{-n} = 1$$

收敛域：整个z域

单位阶跃序列

$$\begin{aligned} Z[u(n)] &= \sum u(n)z^{-n} \\ &= 1 + z^{-1} + z^{-2} + \ldots + z^{-n} \\ &= \frac{z}{z-1} \end{aligned}$$

收敛域：|z| > 1

斜坡序列

由单位阶跃序列的变换对：$Z[u(n)] = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \frac{z}{z-1}$ 求导

$$\begin{aligned} &\left(\sum_{n=0}^{\infty} z^{-n}\right)' = \left(\frac{z}{z-1}\right)' \\ -&\sum_{n=0}^{\infty} nz^{-n+1} = -\frac{1}{(1-z^{-1})^2} \\ &\sum_{n=0}^{\infty} nz^{-n+1} = \frac{1}{(1-z^{-1})^2} \\ \text{两边同时乘以 } z^{-1}: &\quad Z[nu(n)] = \frac{z}{(z-1)^2} \end{aligned}$$

收敛域：|z| > 1
推广：

$$Z[n^m x(n)] = \left[z^{-1} \frac{d}{dz^{-1}}\right]^m X(z)$$

指数序列

$$\begin{aligned} Z[a^n u(n)] &= \sum a^n z^{-n} \\ &= \sum \left(\frac{a}{z}\right)^n \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \left(\frac{a}{z}\right)^{n+1}}{1 - \frac{a}{z}} \end{aligned}$$

当 $|\frac{a}{z}| < 1$ 时序列收敛，此时可以简化为：

$$Z[a^n u(n)] = \frac{z}{z-a}$$

收敛域：|z| > |a|