系统方程

系统方程概述

对于一个有输入和输出的系统，可以通过观察系统输入和输出的关系来建立描述系统的方程，在拉普拉斯变换的s域下，系统方程可以表述为系统输出与输入之比：

$H(s) = \frac{R(s)}{E(s)}$

也可以按照时域分析方法中的理解，当 $e(t) = \delta(t)$ 时，其拉普拉斯变换为1，因此系统方程也是输入为冲激函数时的系统输出。

类型

策动点方程

当系统是一个单口网络（One-port network，输入和输出在同一个端口的系统）时，系统方程称为策动点方程(Driving point function)。对于电路分析，单口网络的系统方程可以是 $H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$，也可以是 $H(s) = \frac{V(s)}{I(s)}$。

传递函数

当系统是一个两口网络时，此时的系统方程称为传递函数（Transfer function）。分析时需要找到电路的输入和输出，作比即可得到传递函数。

连接

并联

如果两个系统并联，新的系统方程为：$h(t) = h_1(t) + h_2(t)$，在s域内：

$H(s) = H_1(s) + H_2(s)$

串联/级联

如果两个系统串联，新的系统方程为：$h(t) = h_1(t) * h_2(t)$，在s域内：

$H(s) = H_1(s)H_2(s)$

举例：放大器的并联和串联

系统方程的结构

如之前提到的拉普拉斯反变换和z反变换，由于系统输入和输出在s域内都以多项式表示，系统方程自然是两个多项式的比值：

$H(s) = \frac{R(s)}{E(s)} = K \frac{\Pi(s - z_i)}{\Pi(s - p_k)}$

其中$p_i$称为系统方程的极点，$z_k$称为系统方程的零点。

在电路分析中，极点描述的对象是电路中电容和电感的个数，即系统方程的阶数。

同理，离散系统的方程也可以写作两个多项式的比：

$H(z) = \frac{\sum b_r z^{-r}}{\sum a_k z^{-k}} = A_0 + \sum \frac{A_k z}{z - p_k}$

强迫响应和自由响应

如果将系统的输入$E(s)$以多项式表示：$E(s) = \frac{\Pi(s - z_i)}{\Pi s - p_k}$，系统方程$H(s) = \frac{\Pi(s - z_j)}{\Pi s - p_i}$，由系统的零输入响应$R(s) = E(s)H(s)$：

$R(s) = \sum \frac{A_k}{s - p_k} + \sum \frac{A_i}{s - p_i}$

经过拉普拉斯反变换：

$r(t) = \sum A_k e^{p_k t} u(t) + \sum A_i e^{p_i t} u(t)$

可以发现$r(t)$受到两部分的影响：系统方程和输入信号：称$r(t)$受输入影响的部分为强迫响应，受系统方程影响的部分为自由响应。

瞬态响应和稳态响应

分析时域中的$r(t)$构成，表达式的常数项不会受到$t$变化的影响，$r(t)$的常数项称为稳态响应。$r(t)$中受到$t$影响的部分称为瞬态响应。

系统稳定性

s域图像

由 $s = \sigma + j\omega$, 因此可以将任何一个值在以实部 $\sigma$ 为横轴，虚部 $j\omega$ 为纵轴的 s 域中的一个点来表示。
在 s 域图像中，系统方程的极点以 $\times$ 表示，系统方程的零点以 $\bigcirc$ 表示。

连续系统的稳定性

在时域中有：

$\int |h(t)| dt < \infty$

满足上述条件的系统是稳定系统。

在 s 域中，如果所有的极点都在 s 域图像的左侧，即 $\sigma < 0$，满足系统稳定的条件。当所有极点都在虚轴上且为一阶时，这个系统是严格的稳定系统。

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离散系统的稳定性

由$z=e^{sT}$，当$s=0$时，$z=1$，因此如果极点在z域的单位圆内，离散系统是稳定系统，在单位圆外，系统是非稳定系统。
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