数字系统

系统的特性

线性

线性系统满足两个特点：齐次性和可加性。

齐次性

如果$x[n] \to T \to y[n]$，有：

$Ax[n] \to T \to Ay[n]$

称系统具有齐次性。

可加性

如果$x_1[n] \to T \to y_1[n]$、$x_2[n] \to T \to y_2[n]$，有：

$x_1[n] + x_2[n] \to T \to y_1[n] + y_2[n]$

称系统具有可加性。
同时满足齐次性和可加性的系统称为线性系统。

时不变性

系统中如果输入的时移会导致系统输出的同步时移，这样的系统称为时不变系统：
如果$x[n] \rightarrow T \rightarrow y[n]$，有：

$x[n - n_0] \rightarrow T \rightarrow y[n - n_0]$

稳定性

如果系统的输入和输出都有界，那么称系统是稳定的。

$x[n] < \infty, y[n] < \infty$

无记忆性

当前系统的输出只依赖于当前的系统输入、而不依赖于之前的系统输入的系统称为无记忆系统。

因果性

当前系统的输出$y[n]$不会依赖于未来的系统输入:$x[n + n_0], n_0 \in Z^*$，这样的系统称为因果系统。
无记忆系统一定是因果系统。
非因果系统可以通过设置延时器转换为因果系统。

卷积和

定义离散信号的卷积称为卷积和：

$\sum_{k} x[k] h[n - k] = x[n] * h[n]$

单位采样响应

对于给定的系统 $T[\cdot]$，当系统输入为单位冲击序列 $\delta[n]$ 时的系统输出 $h[n]$ 称为单位采样响应。

$h[n] = T[\delta[n]]$

对于线性系统：$x[n] \rightarrow T \rightarrow y[n]$，
由齐次性：$x[0] \delta[n] \rightarrow T \rightarrow x[0] h[n]$
由时不变性：$x[k] \delta[n - k] \rightarrow T \rightarrow x[k] h[n - k]$
由单位冲激序列的采样特性：$x[n] = \sum x[k] \delta[n - k]$
因此：

$y[n] = \sum x[k] h[n - k] = x[n] * h[n]$

即系统输出 $y[n]$ 可以表示为系统输入 $x[n]$ 与单位采样响应 $h[n]$ 的卷积。

卷积和的运算性质

线性：$x[n] \backslash (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] \backslash h_1[n] + x[n] \backslash * h_2[n]$

线性揭示了卷积和运算可以被并行化处理

交换律：$x[n] \backslash h_1[n] \backslash h_2[n] = x[n] \backslash h_2[n] h_1[n]$
结合律：$x[n] \backslash h_1[n] \backslash h_2[n] = x[n] \backslash (h_1[n] h_2[n])$
数字系统方程
数字系统可以由差分方程进行描述： $\sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$ 其中系统方程的阶 $N$ 由系统最前输出 $y[n-N]$ 决定。
数字系统的频率响应·离散时间傅里叶变换
类比于连续时间傅里叶变换，称 $e^{j\omega n}$ 为特征函数（Eigenfunction）。对于数字系统，当系统的输入为特征函数时： $y[n] = \sum h[k] e^{j\omega(n-k)} = e^{j\omega n} \sum h[k] e^{-j\omega k}$ 这个变换式称为离散时间傅里叶变换。
称 $\sum h[k] e^{-j\omega k}$ 为数字系统的频率响应： $H(e^{j\omega}) = \sum h[k] e^{-j\omega k}$

其反变换：$h[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi H(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$