Z变换
离散傅里叶变换的局限性
对于离散傅里叶变换 $X(e^{j\omega}) = \sum x[n]e^{-j\omega n}$，要求原离散信号 $x(n)$ 满足狄利克雷条件，即要求变换中的求和项收敛：
有大量的信号不能满足这一条件。
Z变换原理
解决办法是在变换时添加一项 $r^{-n}$，以在保留原信号特征的同时改善原信号的收敛性。
将：$re^{j\omega}$简记为 $z$，得到Z变换的变换公式：
Z变换可以将输入序列转变为以指数序列构成的线性组合。
收敛域
此时要求改善后的信号满足狄利克雷条件，有：
满足这个条件的$z$的取值称为这个$Z$变换对的收敛域。
可以发现$|z|$的取值决定了整个线性组合是否满足狄利克雷条件。
当$|z| = 1$时，$Z$变换退化为离散傅里叶变换，满足这一条件的所有$\omega$的取值在傅里叶平面内构成一个单位圆：
收敛特性
序列的Z变换是否存在与收敛域有关，下面讨论不同类型序列的收敛域特征
| 序列类型 | 收敛域 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 右边序列：$x[n]=a^nu[n]$ | $\ | z\ | >\ | a\ | $ | ||
| 左边序列：$x[n]=-a^nu[-n-1]$ | $\ | z\ | <\ | a\ | $ | ||
| 双边序列：$x[n]=a^nu[n]-b^nu[-n-1]$ | $\ | a\ | <\ | z\ | <\ | b\ | $ |
由上表可以总结出Z变换的三条性质：
- 当且仅当收敛域包括单位圆时，原信号才能同时满足稳定性和因果性，其离散傅里叶变换存在。
- 收敛域以极点（指数序列的基底）、0、无穷划分边界。
- 在收敛域内不存在任何极点。
Z反变换
定义式
定义Z反变换为：反变换的定义式涉及到曲线积分、计算比较困难，由于LIT系统的系统方程都能够写作多项式分数的形式，因此对LIT系统方程而言通常不采用求解定义式的方式来求解反变换，而更多地采用如下方法求解反变换式：Z变换式的部分分式形式
序列 $x(n)$ 的 $z$ 变换式 $X(z)$ 的一般形式可以写作由两个多项式组成的分式，称为部分分式：其中 $b_m$ 称为方程的零点，$a_m$ 称为方程的极点。
当极点为一阶时, 对等式两边同时除以 $z$ 以提取常系数 $A$：
其中 $Ai = \left(z - a_i\right) \frac{X(z)}{z} \bigg|{z=a_i}$
再乘上 $z$：
其中 $A{i}$ 为 $x(n)$ 的常系数，$a{i}$ 为底数，也是极点。 对应的 $x(n)$：
需要注意的是，需要根据 $z - a_{i}$ 的正负对 Z 变换的收敛域进行讨论:
- 当 $|z| < (a{i}){min}$ 时，根据极点对应序列形式（收敛特性一小节中提到的表格），该项对应的指数序列为左边序列 $-A{i}(a{i})^{n}u[-n - 1]$。对应分式项 $\frac{A{i}z}{z - a{i}}$ 应写作 $-\frac{A{i}z}{z - a{i}}$ 以保证 $z - a_{i}$ 恒正。
- 当 $|z| > (a{i}){max}$ 时，根据极点对应序列形式，该项对应的指数序列为右边序列 $A{i}(a{i})^{n}u[n]$。 对应分式项应写作 $\frac{A{i}z}{z - a{i}}$ 以保证 $z - a_{i}$ 恒正。
- 当 $a{min} < |z| < a{max}$ 时，根据极点对应序列形式，该项对应的指数序列为双边序列。
离散系统的频率响应与传递函数
离散系统的差分方程可以写作：求得系统的传递函数为：定义系统的频率响应为输入和输出的离散时间傅里叶变换结果之比：当系统的极点在单位圆内，且零点没有限制时，Z变换和离散时间傅里叶变换存在如下关系：即 $z=e^{j\omega}$。带入频率响应，得到：
可以发现 $e^{j\omega} - b_k$ 和 $e^{j\omega} - a_k$ 都表示从点 $(b_k, 0)$ 或 $(a_k, 0)$ 到单位圆上一点的向量。
将系统的频率响应转化为角度表示：$H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|e^{j\angle H(e^{j\omega})}$，有：
- 系统方程的模长/幅度值(Magnitude)：即系统方程频率响应$H(e^{j\omega})$的幅度值-频率响应，简称幅频响应。
- 系统方程的相位：即系统方程频率响应$H(e^{j\omega})$的相位-频率响应，简称相频响应。