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快速傅里叶变换 快速傅里叶变换（FFT）是一种计算离散傅里叶变换的算法，其独有的计算方式能够大幅度减小离散傅里叶变换的计算量，使得离散傅里叶变换在计算机上具有可实现性。 离散傅里叶变换的计算量回顾离散傅里叶变换： X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}可以发现，计算一个离散傅里叶变换需要计算： N个$x[n]W$，即N次复数乘法 N-1次$x[i]W + x[i+1]W$，即(N-1)次复数加法 根据复数乘法原则$(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)$，和复数加法原则$(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)$，可以发现：1次复数乘法与4个实数乘法和2个实数加法等价；1次复数加法和2次实数加法等价。 因此计算一次离散傅里叶变换需要计算： $4N^2$次实数乘法 $4N^2 - 2N$次实数加法其中实数乘法对计算资源的消耗非常的大，因此考虑使用别的算法以简化实数乘法的次数。时域抽取的快速傅里叶变换将离散傅里叶变换分为奇数和偶数两个段落：X[k] = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}...

离散傅里叶级数·离散傅里叶变换复指数序列的周期性$x[n] = e^{j\omega_0 n}$，由于$\omega_0 \in [0, 2\pi)$的周期性，因此有：$x[n] = e^{j\omega_0 n} = e^{j(\omega_0 + 2\pi k)n}$，令$\omega_0 N = 2\pi k, k \in Z$，有： x[n] = e^{j\omega_0 n} = e^{j(\omega_0 + 2\pi k)n} = x[n + N]复指数序列$x[n]$具有周期性，称$N$为其周期。 由于$\omega_k = \frac{2\pi k}{N} \in [0, 2\pi)$，因此当序列周期为$N$时，当且仅当$k = 0, 1, 2, \ldots, N - 1$时存在$N$个不同的$\omega_k$。$N = \frac{2\pi k}{\omega_0}$。 离散傅里叶级数（DFS）根据连续时间周期信号的傅里叶变换： x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(k\Omega_0) e^{jk\Omega_0...

Z变换离散傅里叶变换的局限性对于离散傅里叶变换 $X(e^{j\omega}) = \sum x[n]e^{-j\omega n}$，要求原离散信号 $x(n)$ 满足狄利克雷条件，即要求变换中的求和项收敛： \sum |x[n]| < \infty有大量的信号不能满足这一条件。 Z变换原理解决办法是在变换时添加一项 $r^{-n}$，以在保留原信号特征的同时改善原信号的收敛性。 X_r(e^{j\omega}) = \sum x[n]r^{-n}e^{-j\omega n} = \sum x[n](re^{j\omega})^{-n}将：$re^{j\omega}$简记为 $z$，得到Z变换的变换公式： X(z) = \sum x[n]z^{-n}Z变换可以将输入序列转变为以指数序列构成的线性组合。 收敛域此时要求改善后的信号满足狄利克雷条件，有： \sum |x[n]z^{-n}| < \infty满足这个条件的$z$的取值称为这个$Z$变换对的收敛域。 可以发现$|z|$的取值决定了整个线性组合是否满足狄利克雷条件。 当$|z| =...

离散时间傅里叶变换傅里叶变换的意义对于一个线性时不变系统，系统任意的输入的信号可以表示为一系列特征函数的线性组合。而傅里叶变换的本质在于求出这个线性组合中每一项的系数和这个线性组合本身的表示。而连续时间域中的傅里叶变换是离散域中线性组合概念的拓展。离散频域中的线性时不变系统的特征函数是指数函数（序列）：$e^{j\omega_k n}$，因此通过傅里叶变换，任何一个满足狄利克雷条件的离散时间域中的信号都可以表示为指数序列的线性组合： x[n] = \sum_k a_k e^{j\omega_k n}通过傅里叶变换，这个线性组合可以表示为： x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}其中$X(j\omega)$为这个线性组合的系数，有： X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}上述式子称为离散时间傅里叶变换。>...

数字系统系统的特性线性线性系统满足两个特点：齐次性和可加性。 齐次性如果$x[n] \to T \to y[n]$，有： Ax[n] \to T \to Ay[n]称系统具有齐次性。 可加性如果$x_1[n] \to T \to y_1[n]$、$x_2[n] \to T \to y_2[n]$，有： x_1[n] + x_2[n] \to T \to y_1[n] + y_2[n]称系统具有可加性。同时满足齐次性和可加性的系统称为线性系统。 时不变性系统中如果输入的时移会导致系统输出的同步时移，这样的系统称为时不变系统：如果$x[n] \rightarrow T \rightarrow y[n]$，有： x[n - n_0] \rightarrow T \rightarrow y[n - n_0]稳定性如果系统的输入和输出都有界，那么称系统是稳定的。 x[n] < \infty, y[n] < \infty无记忆性当前系统的输出只依赖于当前的系统输入、而不依赖于之前的系统输入的系统称为无记忆系统。 因果性当前系统的输出$y[n]$不会依赖于未来的系统输入:$x[n +...

数字信号数字信号是时间离散、幅值离散的信号。但是在本课中为了简化分析，认为时间离散、幅值连续的信号也是数字信号。数字信号可以由序列进行表示： \ldots, x[-1], x[0], x[1], \ldots采样模拟信号是时间连续、幅值连续的信号。使模拟信号转变为数字信号的过程称为采样。采样过程可由如下公式表示： x[n] = x(t) |_{t=nT_s} = x(nT_s), n \in Z其中 $T_s$ 称为采样周期。 常见的数字信号单位冲激序列\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & others \end{cases} 冲激序列的采样性质类比冲击信号的采样性质，可以发现任何的数字信号都可以表示为时移的单位冲激序列的线性组合。 x[n] = \sum x[k]\delta[n-k]单位阶跃序列 u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & others...