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系统方程系统方程概述对于一个有输入和输出的系统，可以通过观察系统输入和输出的关系来建立描述系统的方程，在拉普拉斯变换的s域下，系统方程可以表述为系统输出与输入之比： H(s) = \frac{R(s)}{E(s)}也可以按照时域分析方法中的理解，当 $e(t) = \delta(t)$ 时，其拉普拉斯变换为1，因此系统方程也是输入为冲激函数时的系统输出。 类型策动点方程当系统是一个单口网络（One-port network，输入和输出在同一个端口的系统）时，系统方程称为策动点方程(Driving point function)。对于电路分析，单口网络的系统方程可以是 $H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$，也可以是 $H(s) = \frac{V(s)}{I(s)}$。 传递函数当系统是一个两口网络时，此时的系统方程称为传递函数（Transfer function）。分析时需要找到电路的输入和输出，作比即可得到传递函数。 连接并联如果两个系统并联，新的系统方程为：$h(t) = h_1(t) + h_2(t)$，在s域内： H(s) = H_1(s) +...

Z变换Z变换的基本原理z变换的本质是通过采样使得离散信号可以被拉普拉斯变换，因此z变换的对象是离散信号/序列。其具体过程如下：由第六讲中提到的采样定理，对于连续序列x(t)，对其做自然采样： x_s(t) = x(t)\delta_T(t) \\ = x(t)\sum \delta(t-nT) \\ = \sum x(nT)\delta(t-nT)对其做拉普拉斯变换： X_s = L[x_s(t)] L[x_s(t)] = L[\sum x(nT)\delta(t-nT)] \\ = \sum x(nT)L[\delta(t-nT)] \\ = \sum x(nT)e^{-snT}令$z=e^{sT}$，得到z变换的定义式： X(z) = \sum x(n)z^{-n}在LTI系统中$n > 0$，z变换的定义式可以写作： X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x(n)z^{-n}存在条件/收敛域使得序列$x(n)$能够被z变换的条件是序列$x(n)$收敛，即： \sum |x(n)z^{-n}| <...

拉普拉斯变换傅里叶变换的局限性1.使用傅里叶变换的条件是(f(t))必须要满足狄利赫里条件，即必须要满足有界、绝对可积和有有限个间断点三个条件。 有些信号并不满足绝对可积的条件，因此这些信号不能被应用傅里叶变换。2.傅里叶变换中的无穷积分比较困难。对于不满足狄利赫里条件的信号，可以用拉普拉斯变换进行处理。 拉普拉斯变换的基本原理拉普拉斯变换的基本思想是将 $f(t)$ 乘上一个衰减系数： $AF$ (Attenuation factor) 以改善 $f(t)$ 的收敛性，使得 $f(t)AF$ 满足狄利赫里条件。通用的衰减系数是 $e^{-\sigma t}$。因此 $f(t)AF$ 的傅里叶变换写作： F(\omega) = F[(f(t)e^{-\sigma t})] = \int f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt = \int f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t}dt令 $s = (\sigma+j\omega)$，得到拉普拉斯变换的定义式： L[f(t)] = F(s) = F(\sigma+j\omega) =...

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频谱·非周期信号的傅里叶变换信号的频谱已经知道信号可以分解为一系列正弦信号或者是数字数信号的和。以各分量（称为各谐波（Harmonics））对应的角频率为横坐标，以各分量的幅值或者是相位为纵坐标绘制图像，就能得到信号的频谱图像。频谱分为两种，单边频谱（描述三角形式的傅里叶级数）和双边频谱（描述指数形式的傅里叶级数）。要绘制其单边或双边的幅值频谱和相位频谱，才能够完整地描述一个傅里叶级数。单边频谱和双边频谱的关系：单边频谱的幅值是双边频谱的两倍：$A{uni} = 2A{bil} = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$两者相位相同：$\phi_n = arctan(-\frac{b_n}{a_n})$。例如下图中的三角形式傅里叶级数，可以用单边频谱表示后转换为图中的双边频谱。周期矩形脉冲信号的频谱对上图的周期脉冲信号求其傅里叶系数，得到： F(n\omega) =...

信号的傅里叶级数信号变换分解、响应、叠加是信号与系统中最基础的信号处理方式。对信号的变换思路来源于时域内的信号 $f(t)$ 是以时间为变量的函数方程，在时域内噪声和有用信号往往是同时发生的，难以将噪声从信号中剥离，因此需要对信号进行变换，将信号从时域变换到频域（以频率为自变量的空间，频域中的信号可以表示为 $H(\omega)$），通过频率的不同就能利用滤波器将噪声剥离。 正交分解正交函数与正交函数集在信号领域，如果两个信号在 $(t1, t_2)$ 内有 $\int{t_1}^{t_2} f_1(t) f_2(t) dt = 0$，称两个信号是正交的。如果有 $n$ 个函数构成的函数集：${\phi_1(t), \ldots, \phi_n(t)}$ 在 $(t_1, t_2)$ 内有： \int_{t_1}^{t_2} \phi_i(t) \phi_j(t) dt = \begin{cases} 0, i \neq j \\ K_i \neq 0, i =...